https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1956/Kaiseki_II

2022.02.10記

[1] 次の関数の最大値および最小値を求めよ．またそのときの $\theta$ の値はいかほどか。
$(2 \cos 2\theta+2 \cos\theta+3)(2 \cos\theta+3)−\sin^2 2\theta$
ただし， $0\lt \theta\lt\pi$ とする．

2022.02.10記
普通に微分したとしても綺麗にはならないので、 $\cos\theta$ の多項式となることは見ぬきたい。

[解答]

$\cos\theta = t$ とおくと
$(2 \cos 2\theta+2 \cos\theta+3)(2 \cos\theta+3)−\sin^2 2\theta$ $=\{2 (2t^2-1)+2t+3\}(2t+3)−4t^2(1-t^2)$ $=(4t^2+2t+1)(2t+3)−4(t^2-t^4)=:f(t)$
となる．このとき
$f'(t)=(8t+2)(2t+3)+(4t^2+2t+1)\cdot 2-4(2t-4t^3)$ $=16t^3+24t^2+24t+8$ $=8(2t+1)(t^2+t+1)$
であるから増減表を書くことにより， $t=\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ のとき，すなわち $0\leqq \theta\leqq\pi$ より $\theta=\dfrac{2}{3}\pi$ のとき最小値 $\dfrac{5}{4}$ をとる。