1956年(昭和31年)東京大学-数学(一般数学)

[1] 一定量ののアルコールがある．今第1回目にはその半分を汲みすててのアルコールでおぎない，第1回目にはこのようにして得られたアルコールの半分を汲みすててのアルコールでおぎなう．
このように半分を汲みすててのアルコールでおぎなうことと，のアルコールでおぎなうことを交互に続けるとする．

(i)このような操作を回行ったときには何のアルコールとなるか．

(ii)この操作を限りなく続けるとき，偶数回目と奇数回目のアルコールの濃さはそれぞれどのようになるか．

[2] 甲が乙から 円を月利 で借り，かつ同時に丙に月利 で 円を貸したとする．一月ごとの複利法によって，
箇月後に甲が乙に支払うべき元利合計を 円，甲が丙から受け取るべき元利合計を 円とし，また とする．このとき には無関係で のみによって定まる定数 を適当に選べば
，
が成り立つことを示し，かつ を求めよ．ただし とする．

[3] 右の図は の投影図で，a，b，c および a′，b′，c′ はそれぞれ頂点 の平面図および立面図である．

(i) の平面と平画面とのなす角 を作図せよ．

(ii) aa′，cc′ ，b′c′ ，ab として の面積を で表せ．
注）平画面とは水平投影図のこと

[圖]