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1955年(昭和30年)東京大学-数学(解析Ｉ)[2]

2022.01.12記

[2] 二つの二次方程式
$x^2+x \cos\theta+\sin\theta =0$ ， $x^2+x\sin\theta+\cos\theta =0$
が少くとも一つの実根を共有するとき， $\theta$ の値を求めよ．ただし， $0^{\circ}\lt\theta\lt 360^{\circ}$ とする．

2022.01.12記
$x,\theta$ の連立方程式を考える．

[解答]

$x^2+x \cos\theta+\sin\theta =0$ ， $x^2+x\sin\theta+\cos\theta =0$ の差を考えると，
$(\cos\theta-\sin\theta)(x-1)=0$
となるので，

(i) $x=1$ のとき:

2つの二次方程式が共通解 $x=1$ をもつには、 $1+\cos\theta+\sin\theta=0$ となれば良く， $xy$ 平面で単位円と $x+y=-1$ の交点を考えることにより， $\theta=180^{\circ}$ ， $\theta=270^{\circ}$ となる．

(ii) $\cos\theta=\sin\theta$ のとき:

2つの二次方程式は同一の二次方程式となるので，その二次方程式が実数解をもてば良い。

(a) $\theta=45^{\circ}$ のときは、 $x^2+\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0$ の判別式は負だから実数解をもたず不適。

(b) $\theta=225^{\circ}$ のときは、 $x^2-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0$ の判別式は正だから実数解をもち適する。

以上から， $\theta=180^{\circ}$ ， $225^{\circ}$ ， $270^{\circ}$ となる．

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