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1955年(昭和30年)東京大学-数学(解析ＩＩ)

2022.01.12記

[1] 次の函数のグラフをえがけ．
(i) $y=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^{n+1}+x^{-n-1}}{x^{n}+x^{-n}}$ ，ただし $x\neq 0$ とする．

(ii) $y=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{\cos^2 \pi x+n\sin^2 \pi x}$

[2] 直交座標に関し，四点 ${\rm O}(0，0)$ ， ${\rm A}(1，0)$ ， ${\rm B}(1，1)$ ， ${\rm C}(0，1)$ を頂点とする正方形がある． $x\gt 0$ ， $y\gt 0$ ， $xy =2$ となるように二点 ${\rm P}(x，0)$ ， ${\rm Q}(0，y)$ をとるとき， $\triangle\rm OPQ$ と正方形 $\rm OABC$ との共通部分の面積の最大値を求めよ．

[3] 右の図のようにとった直交軸に関し，直線 $y =x$ より上，曲線 $y =x^3$ より下，直線 $x=a$ より左にある平面の部分の面積を求め，それを $a$ の函数と考えてそのグラフをえがけ．

[図]

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