https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1954/Kika

[1] 2円 $\rm O$ ， $\rm O'$ が点 $\rm A$ ， $\rm B$ で交わるとき， $\rm A$ を通る1つの直線が円 $\rm O$ ， $\rm O'$ とそれぞれ $\rm P$ ， $\rm P'$ でふたたび交わり， $\rm B$ を通ってそれと平行な直線が円 $\rm O$ ， $\rm O'$ とそれぞれ $\rm Q$ ， $\rm Q'$ で交わるとする．

(i) 四辺形 $\rm PQQ'P'$ は平行四辺形となることを証明せよ．

(ii) この平行四辺形の面積が最大となるのはどのようなときか．

本問のテーマ

束（pencil）

2024.09.22記
初等幾何においては，いろいろな図の可能性があり場合分けを全て尽くしているかを考えるのは難しい(P,Qが優弧か劣弧のいずれかにあるかで4通り考える)．そこで，座標幾何で解いてみる．

[解答]
(i) 回転拡大平行移動により
$\mbox{A}(1,0)$ ， $\mbox{B}(-1,0)$
として良く，このとき，この2点で交わる2円は
円 $\mbox{O}：(x+a)^2+y^2-(a^2+1)=x^2+2ax+y^2-1=0$ ，
円 $\mbox{O}'：(x-b)^2+y^2-(b^2+1)=x^2-2bx+y^2-1=0$ ，
（ $a,b\geqq 0$ 但し $a^2+b^2\neq 0$ ）
とおくことができる．

$\mbox{A}$ を通る直線を $y=mx+1$ ， $\mbox{B}$ を通る直線を $y=mx-1$ とおくと $\rm A，B，P，Q$ は円 $x^2+2ax+y^2-1=0$ と2直線 $(y-mx)^2-1=0$ の交点であるから，束を考えて
$\{x^2+2ax+y^2-1\}-\{(y-mx)^2-1\}=0$ ，
つまり
$\{(1-m^2)x＋2my+2a\}x=0$
上にある．ここで直線 $\rm AB$ が $x=0$ となることに注意すると， $\rm P，Q$ は $(1-m^2)x+2my+2a=0$ 上にあることがわかる．つまり直線 $\rm PQ$ の方程式は
$(1-m^2)x+2my+2a=0$
である．

同様に直線 $\rm P'Q'$ の方程式は
$(1-m^2)x+2my-2b=0$
であるから， $\mbox{PQ}\parallel\mbox{P}'\mbox{Q}'$ となり，四辺形 $\rm PQQ'P'$ は平行四辺形となる．

(ii) 四辺形 $\rm APQB$ は等脚台形である．円 $\rm O$ の中心を $\mbox{C}(-a,0)$ とし，
直線 $\mbox{CA}$ の傾きを $\tan\alpha$ とし， $m=\tan\theta$ とおくと
$\angle\mbox{ACB}=\angle\mbox{PCQ}=2\alpha$ ， $\angle\mbox{ACP}=\pi+2\theta-2\alpha$ ， $\angle\mbox{QCB}=\pi-2\theta-2\alpha$ ，
となる．このとき四辺形 $\rm APQB$ の面積は
$\dfrac{1}{2\cos^2\alpha}(\sin 2(\alpha-\theta)+\sin 2(\alpha+\theta)+2\sin2\alpha)$
$=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}(\sin 2\alpha \cos 2\theta+\sin2\alpha)$
となり，これは $\theta=0$ ，つまり $m=0$ で最大となる．