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1954-01-04

1954年(昭和29年)東京大学-数学(解析Ｉ)[3]

[3] $a$ ， $b$ は正の數で $\log ax \log bx+1=0$ を満足する正の数 $x$ があるとき， $\dfrac{b}{a}$ はどのような範囲にあるか，ただし $\log$ は常用対数を表わすものとする．

2020.09.24記

[解答]
$x\gt 0$ のとき、 $\log x$ は全実数をとる．

$(\log x)^2+(\log a+\log b)\log x + \log a \log b+ 1 = 0$ が実数解をもつ条件は判別式
$(\log a+\log b)^2-4(\log a\log b+1)$ $=\Bigl(\log\dfrac{b}{a}\Bigr)^2-4\geqq 0$
よって $\log\dfrac{b}{a}\leqq -2$ または $\log\dfrac{b}{a}\geqq 2$ ＜つまり
$0<\dfrac{b}{a}\leqq\dfrac{1}{100}$ または $\dfrac{b}{a}\geqq 100$
となる．

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