https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1954/Kaiseki_II

[2] 等脚台形の1つの底辺が $7a$ ，等辺が $2a$ であるとき，その面積を最大にするには，その高さをいくらにしたらよいか．

2024.09.22記

[解答]
$\mbox{A}(0,0)$ ， $\mbox{B}(0,7a)$ ， $\mbox{C}(2a\cos\theta,2a\sin\theta)$ ， $\mbox{D}(7a-2a\cos\theta,2a\sin\theta)$ （ $0\lt\theta\lt\pi$ ）
とおくと，等脚台形 $\rm ABCD$ の面積 $S(\theta)$ は
$S(\theta)=(7a-2a\cos\theta)\cdot 2a\sin\theta$ $=2a^2(7-2\cos\theta)\cdot \sin\theta$
となる．

$\dfrac{S'(\theta)}{2a^2}=2\sin^2\theta+(7-2\cos\theta)\cdot \cos\theta$ $=-4\cos^2\theta+7\cos\theta+2=-(4\cos\theta+1)(\cos\theta-2)$
により， $\cos\theta=-\dfrac{1}{4}$ で極大かつ最大となる．このとき $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ だから高さを $2a\sin\theta=\dfrac{\sqrt{15}}{2}a$ にすれば良い．