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1953-01-04

1953年(昭和28年)東京大学-数学(解析Ｉ)[3]

[3] $1\lt x\lt a$ なるとき， $(\log_a x)^2$ ， $\log_a x^2$ ， $\log_a (\log_a x)$ の大小の順序はどうか，またそれはどうしてわかるか．

2024.09.23記

[解答]
$X=\log_a x$ とおくと $1\lt x\lt a$ より $0\lt X\lt 1$ である．

このとき $(\log_a x)^2=X^2$ ， $\log_a x^2=2X$ ， $\log_a (\log_a x)=\log_a X$ の大小は， $0\lt X\lt 1$ で
$\log_a X\lt 0 \lt X^2 \lt X \lt 2X$
となることから
$\log_a (\log_a x) \lt (\log_a x)^2 \lt \log_a x^2$
となる．

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