https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1953/Kaiseki_I

[2] 与えられた長さ $l$ の線分を適当に六本の線分にわけ，それを使って図のような三箇の等積な長方形を合わせた形の図形を作る．このようにして作り得る長方形 $\rm ABCD$ の面積の最大値を求めよ．

2024.09.23記

[解答]
$\mbox{AB}=a$ ， $\mbox{AD}=b$ とおくと，6本の線分の長さは
$a，a，a，b，b，\dfrac{2}{3}b$
であるから， $3a+\dfrac{8}{3}b=l$ （ $a，b\gt 0$ ）で一定のときの $ab$ の最大値を求めれば良い．

AM-GM 不等式により
$l=3a+\dfrac{8}{3}b\geqq 2\sqrt{8ab}=4\sqrt{2ab}$
であるから， $ab\leqq\dfrac{l^2}{32}$ となり，等号成立は $3a=\dfrac{8}{3}b=\dfrac{l}{2}$ のとき成立する．

よって長さ $l$ の線分を
$\dfrac{l}{6}，\dfrac{l}{6}，\dfrac{l}{6}，\dfrac{3l}{16}，\dfrac{3l}{16}，\dfrac{l}{8}$
にわけたとき，長方形の面積は最大値 $\dfrac{l^2}{32}$ をとる．