1953年(昭和28年)東京大学-数学(一般数学)[3]

[3] 右の図で正方形 をその中心のまわりで正方向に 回転したものである．点 は，正方形 の周上を一定の速さで 分間に 回まわり点 は正方形 の周上を一定の速さで 分間に 回まわるものとする．， が同時に を出発して同じ向きに回転するとき，

(1) ， は を出発してから何分後に初めてどこで出会うか．

(2) ， は 点，，， では出会わない．その理由を説明せよ．

[解答]
(2) ， の速度比は有理数である．

から ，，， までの ， の道程の比は，非負整数 が存在して


の形なので無理数比となるので，， は 点，，， では出会わない．

(1) (2) より と が出会うとすれば， のいずれか．
から までの両者の道程は等しく，これを とおくと，道程の差が の倍数ときに出会う．

ここで と の分速はそれぞれ であり，速度比は であるから，初めて出会うのは，それぞれが 進んだときである．

よって，出会う場所は から 進んだ場所である であり， が 進むので 分後である．