https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1952/Kika

[2] 半径 $R$ の定円の周上を，その内側にある半径 $\dfrac{R}{2}$ の円がすべらずにころがるとき，小円の周上の一点の軌跡を求めよ．

本問のテーマ

2020.03.17記
ハイポサイクロイド（内サイクロイド）の転円の半径が定円の半径の半分のとき，直径となることは有名である．

[解答]
定円の中心を $\rm O$ とする．小円の周上の一点 $\rm P$ が定円との接点となる状況において，その接点を $\rm A$ とし，直径 $\rm AB$ を考える．

円が転がって，接点が $\rm Q$ となったとする． $\rm OQ$ の中点（そのときの小円の中心の位置）を $\rm M$ とすると，そのときの点 $\rm P$ において、定円の弧 $\rm QA$ の長さと小円の弧 $\rm QP$ の長さは等しく，円の半径の比が $2:1$ なので，中心角に関して $\rm\angle QMP=2\angle QOA$ が成立する．

円周角の定理から $\rm\angle QMP=2\angle QOP$ であるから， $\rm\angle QOA=\angle QOP$ となり， $\rm O$ ， $\rm P$ ， $\rm A$ は同一直線上にある．つまり $\rm P$ は直径 $\rm AB$ 上にある．

ここで点 $\rm P$ は定円の内部にあり，連続的に動き，点 $\rm A$ ， $\rm B$ （点 $\rm A$ 以外に点 $\rm P$ が定円の接点となるのは，小円の半径が定円の半径の半分なので，直径の他端 $\rm B$ だけである）の両方に到達できるので（端点を含む）直径 $\rm AB$ 全体が求める軌跡である．

[別解]
定円を $x^2+y^2=R^2$ とし，小円の周上の1点 $\rm P$ が定円と接するときの座標を $(1,0)$ とする．

小円が反対時計まわりに動き，定円との接点が $(R\cos\theta，R\sin\theta)$ となったときの $\rm P$ の座標は，小円の中心の座標が
$\left(\dfrac{R}{2}\cos\theta，\dfrac{R}{2}\sin\theta\right)$
であり，動径方向が $\theta-2\theta=-\theta$ であることから
$\left(\dfrac{R}{2}\cos\theta+\dfrac{R}{2}\cos(-\theta)，\dfrac{R}{2}\sin\theta+\dfrac{R}{2}\sin(-\theta)\right)$
$(R\cos\theta，0)$
となる．よって $\theta$ を動かすと $(1，0)$ と $(-1，0)$ を結ぶ線分を描く．