https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1952/Kaiseki_I

[3] $\dfrac{\log a+\log b +\log c + \log d}{4}$ と $\log \dfrac{a+b+c+d}{4}$ の大小を比較せよ。ただし対数は常用対数とし， $a,\,b,\,c,\,d$ は正数とする．

2020.10.28記
$\log_{10}x$ は上に凸だから，Jensen の不等式から言える．

2024.09.23記

[解答]
$\dfrac{\log a+\log b +\log c + \log d}{4}=\log (abcd)^{1/4}$ であるから，
$(abcd)^{1/4}$ と $\dfrac{a+b+c+d}{4}$ との大小を比較すれば良い．

正数 $x，y$ について
$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqq 0$ から $\dfrac{x+y}{2}\geqq\sqrt{xy}$
（等号は $x=y$ ）が成立するので，
$\dfrac{a+b+c+d}{4}=\dfrac{\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2}}{2}$ $\geqq \sqrt{\dfrac{a+b}{2}\cdot\dfrac{c+d}{2}}$ $\geqq \sqrt{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{cd}}=(abcd)^{1/4}$
（等号は $a=b=c=d$ ）
となる．

常用対数をとっても（底が1より大きいので）不等号の向きは変わらないので
$\dfrac{\log a+\log b +\log c + \log d}{4}\leqq \log \dfrac{a+b+c+d}{4}$
（等号は $a=b=c=d$ となるときのみ）が成立する．