https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1952/Kaiseki_II

[3] $f(x)=x^3+x^2+x+1$ であるとき， $g(x)=ax^2+2bx+c$ の係数 $a,\,b,\,c$ をどのように定めれば
$f(1)=g(1),\,f(-1)=g(-1)$
である上に $\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)-g(x)\}^2 dx$ が最小となるか．

本問のテーマ

ルジャンドル多項式

2020.03.16記

ルジャンドル多項式

$P_0(x)=1,\,P_1(x)=x,\, P_2(x)=\dfrac{3x^2-1}{2}, \, P_3(x)=\dfrac{5x^3-3x}{2}$ とおくと， $\displaystyle \int_{-1}^1 P_i(x)P_j(x)=\delta_{ij}$ となる．ここで $\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタである．

[大人の解答]
$n$ 次のルジャンドル多項式を $P_n(x)$ とおくと，
$f(x)=\dfrac{2}{5}P_3(x)+\dfrac{2}{3}P_2(x)+\dfrac{8}{5}P_1(x)+\dfrac{4}{3} P_0(x)$
である．ここで
$g(x)=kP_2(x)+l P_1(x)+m P_0(x)$
とおくと， $f(1)=g(1)，f(-1)=g(-1)$ により、
$k+l+m=4，k-l+m= 0$ となり $l= 2，k+m= 2$ となる．

このとき
$\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)-g(x)\}^2 dx=\dfrac{4}{25}+\left(\dfrac{2}{3}-k\right)^2+\left(\dfrac{4}{3} -m\right)^2$
は $k=\dfrac{2}{3}，m=\dfrac{4}{3}$ のとき最小値 $\dfrac{4}{25}$ をとる．

よって
$g(x)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3x^2-1}{2}+ 2\cdot x +\dfrac{4}{3} =x^2+2x+1$
となり $a=b=c=1$ となる．

普通にやると、

[解答]
$f(1)=g(1)$ ， $f(-1)=g(-1)$ により $a+c=2, \, b=1$ となる．この積分では奇関数の積分が消えることに注意すると
$\displaystyle \int_{-1}^1 \{f(x)-g(x)\}^2 dx= \int_{-1}^1 [(x^3-x) - \{(a-1)x^2+(c-1)\}]^2 dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^1(x^3-x)^2 dx+ 2\int_{0}^1 \{(a-1)x^2+(c-1)\}^2 dx$
となり，これは $a+c=2$ のとき， $a=c=1$ で最小となる．

よって $a=b=c=1$ となる．

元ネタのルジャンドル多項式を使うよりも普通に解いた方が早かった。