https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1952/Kaiseki_II

[1] $a_1=0, \, a_2=1,\, a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}+a_{n}}{2}$ （ $n=1,\,2,\,3,\,\cdots$ ）
であるとき
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$
を求めよ．

2020.03.16記
漸化式の特性方程式は $2\lambda^2-\lambda-1=0$ であるから，その解は $\lambda = -\dfrac{1}{2},\,1$ となるので、 $a_n=\alpha \dfrac{1}{(-2)^{n-1}}+\beta$ とかける。

初期条件より $\alpha =-\dfrac{2}{3},\,\beta=\dfrac{2}{3}$ となり、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\beta=\dfrac{2}{3}$

2024.09.23記

[解答]
$a_{n+2}-a_{n+1}=-\dfrac{1}{2}(a_{n+1}-a_n)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_{2}-a_1)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$ ，
$a_{n+2}+\dfrac{1}{2}a_{n+1}=a_{n+1}+\dfrac{1}{2}a_{n}=a_{2}+\dfrac{1}{2}a_{1}=1$
であるから，
$\dfrac{3}{2}a_{n+1}=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$
となり，
$a_{n}=\dfrac{2}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}$
となる．よって
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\dfrac{2}{3}$
となる．