https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1951/Kaiseki_I

[3] 山の高さを知るために，同じ水平面上に二地点 A，Bをとり，山の頂点 C からこの水平面に下した垂線の足を D として， $\rm AB=$ $a$ ， $\angle\rm CAB=$ $\alpha$ ， $\angle\rm ABC=$ $\beta$ ， $\angle\rm CAD=$ $\gamma$ を測った．このとき

(1) 山の高さ $\rm CD=$ $h$ を求める式を作れ．

(2) $a=1000$ m， $\alpha=75^{\circ}$ ， $\beta=53^{\circ}$ ， $\gamma=39^{\circ}$ のとき，次の数表を用いて $h$ を求めよ．

三角函数表

	sin	cos	tan
$37^{\circ}$	.6018	.7986	.7536
$38^{\circ}$	.6157	.7880	.7813
$39^{\circ}$	.6293	.7771	.8098

対数表

	0	1	2	3	4
6.2	.7295	.7931	.7938	.7945	.7952
6.3	.7993	.8000	.8007	.8014	.8021
7.8	.8921	.8927	.8932	.8938	.8943
7.9	.8976	.8982	.8987	.8993	.8998
	5	6	7	8	9
6.2	.7959	.7966	.7973	.7980	.7987
6.3	.8028	.8035	.8041	.8048	.8055
7.8	.8949	.8954	.8960	.8965	.8971
7.9	.9004	.9009	.9015	.9020	.9025

2024.09.24記
数表は線型補間する．例えば[解答]に登場する $\log_{10} 7.986=x$ となる $x$ を求めるとき，
$\log_{10} 7.98=0.9020$ ， $\log_{10} 7.99=0.9025$
だから，この付近では真数が $0.01$ 増えると対数の値は $0.0005$ 増えるので
真数が $0.006$ 増えると対数の値は $x$ は $0.0005\times 0.6=0.0003$ 増えると近似でき，
$\log_{10} 7.986=0.9023$
と近似できる．

[解答]
(1) $h=\mbox{AC}\sin\gamma$ $=\dfrac{\mbox{AB}}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma$ $=\dfrac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\alpha+\beta)}a$
となる．

(2) $h=\dfrac{\sin53^{\circ}\sin39^{\circ}}{\sin128^{\circ}}\cdot 1000$ $=\dfrac{\cos37^{\circ}\sin39^{\circ}}{\cos38^{\circ}}\cdot 1000$
であるから，三角函数表から
$h=\dfrac{0.7986\times0.6293}{0.7880}\times 1000$ $=\dfrac{7.986\times.6.293\times 100}{7.880}$
となる．よって
$\log_{10} h=\log_{10} 7.986+\log_{10}6.293+\log_{10}100-\log_{10}7.880$
となり，対数表から
$\log_{10} 7.98=0.9020$ ， $\log_{10} 7.99=0.9025$ ，
$\log_{10} 6.29=0.7987$ ， $\log_{10} 6.30=0.7993$ ，
だから線型補間により
$\log_{10} 7.986=0.9023$ ， $\log_{10} 6.293=0.79888$
となり，
$\log_{10} 7.88=0.8965$
とあわせて
$\log_{10} h=0.9023+0.79888+2-0.8965=2.80468$
となる．再び対数表により
$\log_{10} 6.37=0.8041$ ， $\log_{10} 6.38=0.8048$
から線型補間により
$\log_{10}\left(6.37+0.01\times\dfrac{5.8}{7}\right)=\log_{10}6.37828=0.80468$
となるので， $h=637.828$ m，有効数字4桁で表して $h=637.8$ m となる．

近似計算では最後の桁はずれることもしばしばである．例えば常に有効数字4桁に丸めながら計算すると　 $\log_{10} 6.293=0.79888$ を $\log_{10} 6.293=0.7989$ として以降計算することになり，
$\log_{10} h=2.8047$
となる．再び対数表により
$\log_{10} 6.37=0.8041$ ， $\log_{10} 6.38=0.8048$
から線型補間により
$\log_{10}\left(6.37+0.01\times\dfrac{6}{7}\right)=\log_{10}6.37857=0.8047$
となるので $h=637.9$ m となる．

また，線型補間をせずに近い方，とすれば
$\log_{10} h=\log_{10} 7.986+\log_{10}6.293+\log_{10}100-\log_{10}7.880$
$=\log_{10} 7.99+\log_{10}6.29+\log_{10}100-\log_{10}7.88$
$=0.9025+0.7987+2-0.8965=2.8047$
となり，対数表で $0.8047$ に一番近いのは
$\log_{10} 6.38=0.8048$
だから
$h=638$ m
となる．当時の東大の採点が線型補間に重きを置いていたのであればそれなりに減点されるが，数表の見方を理解しているかのみに重きを置いていたのであればほとんど減点されないだろう．実際はどうだったかはわかりません．