以下の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1951/Kaiseki_I_2より取得しました。

1951年(昭和26年)東京大学-数学(解析Ｉ)[2]

[2] $f=x^2-xy-6$ ， $g=x^2-y^2-1$ とする．

(1) $f=g=0$ を満足する $x$ ， $y$ の値を求めよ．

(2) $f\lt 0$ ， $g\lt 0$ を満足する $x$ ， $y$ を座標とする点の存在する範囲を図示せよ．

(3) また $fg \lt 0$ を満足する $x$ ， $y$ を座標とする点の存在する範囲を図示せよ．

2024.09.24記

[解答]
(1) $f-6g=-5x^2-xy+6y^2=-(5x+6y)(x-y)=0$ により $y=x，-\dfrac{5}{6}x$ である．

(i) $y=x$ のとき $f=-6\neq 0$ だから不適．

(ii) $y=-\dfrac{5}{6}x$ のとき $f=\dfrac{11}{6}x^2-6=0$ から $(x，y)=\left(\pm\dfrac{6\sqrt{11}}{11}，\mp\dfrac{5\sqrt{11}}{11}\right)$ となる．

$f=x(x-y)-6=0$ は $x=0$ ， $y=x$ を漸近線とする双曲線であり， $g=(x+y)(x-y)-1=0$ は $y=-x$ ， $y=x$ を漸近線とする双曲線である．これらの交点は(1)で求めた．

(2) $f\lt 0$ は双曲線のうち原点を含む側であり， $g\lt 0$ も双曲線のうち原点を含む側であるから，その共通部分は次図．

(3) $f\lt 0$ は双曲線のうち原点を含む側であり， $g\lt 0$ も双曲線のうち原点を含む側であるから，片方の双曲線の原点を含む側でもう片方の双曲線の原点を含まない側が求める範囲であり，それは次図．

(3) の領域は原点を含まなく， $f=0$ や $g=0$ を超える毎に含む含まないを交互にくり返す，と考えれば図示し易い．

以上の内容はhttps://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1951/Kaiseki_I_2より取得しました。
このページはhttp://font.textar.tv/のウェブフォントを使用してます

不具合報告/要望等はこちらへお願いします。
モバイルやる夫Viewer Ver0.14