https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1951/Kaiseki_I

[1] 方程式 $|x^2-1|+x+k=0$ の実根の個数は実数 $k$ の値によってどのようにかわるか。

2024.09.23記

[解答]
$y=f(x)=-|x^2-1|-x$ のグラフと $y=k$ のグラフの交点の個数を数える．

$y=-x^2+1-x=-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{4}$ （ $|x|\geqq 1$ ），
$y=x^2-1-x=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}$ （ $|x|\leqq 1$ ）
に注意すると， $f(x)$ の増減は次のようになる．

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$\dfrac{1}{2}$		$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f(x)$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$-\dfrac{5}{4}$		$\nearrow$	$-1$	$\searrow$

よって，
$k\lt -\dfrac{5}{4}$ のとき2個，
$k= -\dfrac{5}{4}$ のとき3個，
$-\dfrac{5}{4}\lt k\lt -1$ のとき4個，
$k= -1$ のとき3個，
$-1\lt k\lt 1$ のとき2個，
$k= 1$ のとき1個，
$1\lt k$ のとき0個
となる．