https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1951/Kaiseki_II

[2] 半径 $a$ の固定した円に糸を巻きつけておき，その端を円周上の一点 $\rm A$ から，糸がたるまないように，その円の平面内でほぐして行くとき，その端の描く曲線の弧 $\rm AP$ の長さをほぐれた糸 $\rm QP$ の長さ $l$ で表せ．

本問のテーマ

円の伸開線

2020.10.29記
円の伸開線

2024.09.25記

[解答]
$\mbox{P}(x，y)$ ， $\mbox{Q}(a\cos\theta，a\sin\theta)$ とおくと $\rm QP$ $=a\theta$ であるから
$x=a\cos\theta+a\theta\sin\theta，y=a\sin\theta-a\theta\cos\theta$
となる．よって
$\dfrac{dx}{d\theta}=-a\theta\cos\theta$ ， $\dfrac{dy}{d\theta}=a\theta\sin\theta$
となり，
$\mbox{AP}$ $=\displaystyle\int_0^{l/a} \sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\, d\theta$ $=\displaystyle\int_0^{l/a} a\theta\, d\theta$ $=a\cdot\dfrac{l^2}{2a^2}=\dfrac{l^2}{2a}$
となる．

$\dfrac{d\mbox{AP}}{d\theta}=a\theta\,d\theta$
が成立しているのは，

からわかるだろう．

円の伸開線については
1979(昭和54年)早稲田大学理工学部-数学[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
が有名問題であり，ここでもこの相似と近似できる性質を利用することができる．