https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1951/Kaiseki_II

[1] 一定の体積 $V$ なる直円柱の全表面積のうちで最小なものの値を求めよ．

2024.09.25記

[解答]
直円柱の底面の半径を $r$ ，高さを $h$ とするし，全表面積を $S$ とすると $S=2\pi(r^2+rh)$ ， $V=\pi r^2 h$ である．よって
$S=\pi(2r^2+rh+rh)\geqq 3\pi\sqrt[3]{2r^4h^2}$ $=3\pi\sqrt[3]{\dfrac{2V^2}{\pi^2}}$ $=3\sqrt[3]{2\pi V^2}$
（等号成立は $2r=h$ ）
となり，最小値は $3\sqrt[3]{2\pi V^2}$ となる．

等号成立は円柱の高さが円柱の底面の直径となる，つまり球がすっぽり円柱に収まる場合である．表面積が一定の場合の体積の最小値は球で実現される（等周問題）ので，球に``一番近い''円柱を求めたと考えることもできる．