https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1950/Kaiseki_II

[5] 曲線 $y=\sin x$ ， $0\leqq x\leqq \pi$ ，を $x$ 軸のまわりに一回轉してできる立體の體積を求む．

本問のテーマ

パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の定理

2024.11.04記

[解答]
$\displaystyle\int_0^{\pi} \pi \sin^2 x dx$ $=\displaystyle\int_0^{\pi} \dfrac{\pi}{2} (1-\cos 2x) dx$ $=\dfrac{\pi}{2} \left[ x-\dfrac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi}$ $=\dfrac{\pi^2}{2}$

[大人の解答]
曲線 $y=\sin x$ ， $0\leqq x\leqq \pi$ と $x$ 軸で囲まれた図形の重心は $\left(\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{8}\right)$ だから，パップス・ギュルダンの定理により $2\pi\cdot\dfrac{\pi}{8}\cdot 2=\dfrac{\pi^2}{2}$ となる．