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1949-02-16

1949年(昭和24年)東京大学(旧制)医学部薬学科-数学[2]

[2] 平面の極座標 $r$ ， $\theta$ を用いて $r=\dfrac{l}{1+e\cos\theta}$ で表わされる曲線の囲む面積を求めよ．但し $0 \lt e \lt 1$ とする．

2025.01.07記

[解答]
$r=\dfrac{l}{1+e\cos\theta}$ の両辺を2乗して整理すると
$r^2-e^2r^2\cos^2\theta+2ler\cos\theta=l^2$
となる． $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ とおくと
$(1-e^2)x^2+2le x+y^2=l^2$
となり，整理して
$\dfrac{\left(x+\dfrac{le}{1-e^2}\right)^2}{\left(\dfrac{l}{1-e^2}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{l}{\sqrt{1-e^2}}\right)^2}=1$
となる．よって求める面積は
$\dfrac{l^2}{(1-e^2)^{3/2}}\pi$
となる．

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