https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1949/Yakugaku

[1] $x$ が十分大きい値をとれば $ae^x \gt bx^n \gt c\log x$ であることを証明せよ．但し $a$ ， $b$ ， $c$ ， $n$ は正の定数とする．

2025.01.07記

[解答]
$t\gt 0$ で $e^t\geqq t+1\gt t$ である． $t=\dfrac{x}{n+1}$ とおき，正である両辺を $n+1$ 乗すると $e^x\gt\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$ ，つまり $(0\lt)\dfrac{x^n}{e^x}\lt \dfrac{(n+1)^{n+1}}{x}$ が成立する．よってはさみうちの原理により $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^n}{e^x}=0$ となる．よって十分大きな $x$ に対して
$0\lt \dfrac{x^n}{e^x}\lt \dfrac{a}{b}$ ，つまり $ae^x\gt bx^n$ が成立する．

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^n}{e^x}=0$ は任意の正数 $n$ について成立するので， $n\to\dfrac{1}{n}$ と置き換えた
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^{1/n}}{e^{x}}=0$
も成立し，よって
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x}{e^{nx}}=0$
も成立する．さらに $x\to \log x$ と置き換えれば
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\log x}{x^{n}}=0$
も成立する．よって十分大きな $x$ に対して
$0\lt \dfrac{\log x}{x^n}\lt \dfrac{b}{c}$ ，つまり $bx^n\gt c\log x$ が成立する．