https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1949/Nougaku

[4] 二つの曲線 $y=\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}$ 及び $x^2=4ay$ によつて圍まれたる部分の面積を求めよ．

2025.01.07記

[解答]
$a\leqq 0$ のときは2つの曲線は交点を持たないので， $a\gt 0$ とする．

このとき $y=\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}$ と $x^2=4ay$ の交点の座標は [te:(\pm 2a，a)] であるから，求める面積は
$2\displaystyle\int_0^{2a} \left(\dfrac{8a^3}{x^2+4a^2}-\dfrac{x^2}{4a}\right)\, dx$
$=2\Bigl[ 4a^2\mbox{Arctan}\, \dfrac{x}{2a} -\dfrac{x^3}{12a} \Bigr]_0^{2a}$
$=\left(2\pi -\dfrac{4}{3}\right)a^2$
となる．

図形全体を原点中心に $\dfrac{1}{2a}$ に拡大すると

[4] 二つの曲線 $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ 及び $x^2=2y$ によつて圍まれたる部分の面積を求めよ．

となるので，これを求めると $\dfrac{\pi}{2} -\dfrac{1}{3}$ となり，この結果を $4a^2$ 倍しても良い．