https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1949/Nougaku

[3] 次の不定積分を求めよ．
i. $\displaystyle\int\dfrac{dx}{a+be^x}$
ii. $\displaystyle\int(\tan 2x-1)^2 dx$

2025.01.07記

[解答]
i. $a=b=0$ のとき：考えない

$a=0，b\neq 0$ のとき： $-\dfrac{e^{-x}}{b}+(積分定数)$

$a\neq 0，b=0$ のとき： $\dfrac{x}{a}+(積分定数)$

$a\neq 0，b\neq 0$ のとき： $e^x=t$ と置換すると
$\displaystyle\int\dfrac{dx}{a+be^x}$ $=\displaystyle\int\dfrac{dt}{t(a+bt)}$
$=\dfrac{1}{a}\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{b}{bt+a}\right)\,dt$
$=\dfrac{1}{a}\left(x-\log |a+be^x|\right)+(積分定数)$

ii. $\displaystyle\int(\tan 2x-1)^2 dx$ $=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{\cos^2 2x}-2\tan 2x\right) dx$ $=\dfrac{1}{2}\tan 2x+\log |\cos 2x|+(積分定数)$