https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1949/Nougaku

[2] 次の2個の円の交角を求めよ．
$x^2+y^2-4x=1$ ， $x^2+y^2-2y=9$

2025.01.07記

[解答]
2個の円の交点を求める．
$x^2+y^2-4x=1$ ， $x^2+y^2-2y=9$
から $x^2+y^2-4x=1$ かつ $y=2x-4$ となり $(x，y)=(1，-2)，(3，2)$ となる．2円は中心を結ぶ直線に対して線対称なので，
$(x，y)=(1，-2)$ における交角を求めれば良い．

$x^2+y^2-4x=1$ について $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2-x}{y}$ だから $(x，y)=(1，-2)$ における接線の傾きは [tex-\dfrac{1}{2}] である．

$x^2+y^2-2y=9$ について $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-x}{y-1}$ だから $(x，y)=(1，-2)$ における接線の傾きは [tex\dfrac{1}{3}] である．

よって $(x，y)=(1，-2)$ における2接線のなす角度の正接は $\dfrac{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{6}}=1$ となり，円の交角は $\dfrac{\pi}{4}$ となる．

なお， $x^2+y^2-4x=1$ の中心 $(2，0)$ と $(1，-2)$ を結ぶ直線 $y=2x-4$ と， $x^2+y^2-2x=9$ の中心 $(0，1)$ と $(1，-2)$ を結ぶ直線 $y=-3x+1$ のなす角度と2円の交角は等しい，としても良い．