https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1949/Nougaku

[1] i. $y=ae^{kx}+be^{-kx}$ の極小値を求めよ．

ii. $y=\log x$ なるときの $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ を求めよ．

2025.01.07記
i. において $k=0$ とすると $y=a+b$ で一定なので(広義の)極小値 $a+b$ をもつが，これは除外しておく．

[解答]
i. $k\neq 0$ とする． $y'=ke^{kx}(ae^{2kx}-b)=0$ であるから， $y'=0$ となり，その前後で $y'$ の符号が負から正となるためには $a，b\gt 0$ である必要があり，このとき $e^{kx}=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ において極小となる．極小値は $2\sqrt{ab}$ となる．

また $y$ が定数関数となるのは $a=b=0$ または $k=0$ のときであり，このとき広義の極小となる．

よって

(a) $k=0$ のとき，（広義の）極小値 $a+b$ をとる，
(b) $a=b=0$ のとき，（広義の）極小値 $0$ をとる，
(c) $a，b\gt 0$ のとき，極小値 $2\sqrt{ab}$ をとる，
(d) それ以外のとき，極小値なし

となる．

ii. 帰納的に $\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ であることが示せる．