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1949年(昭和24年)東京大学(旧制)工学部-数学[3]

[3] 直交軸 $xy$ に關して $x^2+3y^2 \lt a^2$ ， $xy \gt 0$ ， $x-3y+a \gt 0$ なる三條件を同時にみたす領域の全面積を求めよ．ただし $a \gt 0$ とする．

2022.07.20記

[解答]
求める面積を $S$ とする．

$y$ 軸方向に $\sqrt{3}$ 倍拡大した座標系 $X=x$ ， $Y=\sqrt{3}y$ で考えると面積は $\sqrt{3}$ 倍になる．

このとき， $X^2+Y^2 \lt a^2$ ， $XY \gt 0$ ， $X-\sqrt{3}Y+a \gt 0$ で定まる領域の面積を求めれば良い．円と直線の交点は $(-a,0)$ と $\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\right)$ であり，直線の $y$ 切片は $\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
であるから，

$\sqrt{3}S=a^2\pi\cdot\dfrac{150^{\circ}}{360^{\circ}}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{3}}\times\dfrac{a}{2}$ $=\dfrac{(5+\sqrt{3})a^2\pi}{12}$
となり，
$S=\dfrac{(5+\sqrt{3})a^2\pi}{12\sqrt{3}}$ $=\dfrac{(5\sqrt{3}+3)a^2\pi}{36}$
となる．

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