https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1949/Kika

[5] 一つの定圓に外接し，かつ一つの定直線に接する圓の中心の軌跡を求めよ．

2024.11.04記

[解答]
定円を $C:x^2+y^2=r^2$ （ $r\gt 0$ ），その中心を $\mbox{F}(0，0)$ とし，定直線を $l:\, x=-h$ （ $h\lt 0$ ）とする．そしてこの定円に外接し，かつ定直線に接する円の中心を $\mbox{P}(X，Y)$ とする．このとき，
$|Y+h|=\sqrt{X^2+Y^2}-r$
が成立する．
$|Y+h|+r=\sqrt{X^2+Y^2}$
の両辺は正であるから2乗しても同値であり，
$2r|Y+h|=X^2-2hY-r^2-h^2$
が成立する．

よって，

(a) $Y\gt -h$ の範囲では
$2r(Y+h)=X^2-2hY-r^2-h^2$ ，つまり
$2(h+r)Y=X^2-(h+r)^2$
上にある．

(b) $Y\lt -h$ の範囲では
$-2r(Y+h)=X^2-2hY-r^2-h^2$ ，つまり
$2(h-r)Y=X^2-(h-r)^2$
上にある．

以上から，

(i) $h\gt r$ のとき， $C$ と $l$ は交わらないので，(a)の場合のみであり，
$2(h+r)y=x^2-(h+r)^2$ ，つまり
$y=\dfrac{1}{2(h+r)}y^2+\dfrac{-h-r}{2}$
全体を表す．

(ii) $h\lt r$ のとき， $C$ と $l$ は異なる2点で交わるので，
$y=\dfrac{1}{2(h+r)}x^2+\dfrac{-h-r}{2}$ （ $y\gt -h$ ），
$y=-\dfrac{1}{2(-h+r)}x^2+\dfrac{-h+r}{2}$ （ $y\lt -h$ ）
となる．

(iii) $h=r$ のとき， $C$ と $l$ は接するので，
$y=\dfrac{1}{4r}x^2$ （ $|y|\gt -r$ ，すなわち $x\neq 0$ ），
$x=0$ （ $y\lt -h$ ）
となる．

円の中心までの距離と直線までの距離の差が，定円の半径となるのだから，直線を定円の半径だけずらしてやれば，円の中心までの距離と直線までの距離が等しくなり，その軌跡は円の中心を焦点，ずらした直線を準線とする放物線(の一部)となることがわかる．

[解答]
定円を $C:x^2+y^2=r^2$ （ $r\gt 0$ ），その中心を $\mbox{F}(0，0)$ とし，定直線を $l:\, x=-h$ （ $h\lt 0$ ）とする．そしてこの定円に外接し，かつ定直線に接する円の中心を $\mbox{P}(X，Y)$ とする．また直線 $m_1:\, x=-h-r$ ， $m_2:\, x=-h+r$ とし， $\mbox{H}_1(X，-h-r)$ ， $\mbox{H}_2(X，-h+r)$ とする．このとき，

(a) $Y\gt -h$ ならば $\mbox{PF}=\mbox{PH}_1$ により， $\rm P$ は焦点 $\rm F$ ，準線 $m_1$ の放物線
$y=\dfrac{1}{2(h+r)}x^2+\dfrac{-h-r}{2}$
上にある．

(b) $Y\lt -h$ ならば $\mbox{PF}=\mbox{PH}_2$ により， $\rm P$ は焦点 $\rm F$ ，準線 $m_2$ の放物線
$y=-\dfrac{1}{2(-h+r)}x^2+\dfrac{-h+r}{2}$
上にある．

(i) $h\gt r$ のとき， $C$ と $l$ は交わらないので，
$y=\dfrac{1}{2(h+r)}x^2+\dfrac{-h-r}{2}$
全体を表す．

(ii) $h\lt r$ のとき， $C$ と $l$ は異なる2点で交わるので，
$y=\dfrac{1}{2(h+r)}x^2+\dfrac{-h-r}{2}$ （ $|x|\gt \sqrt{r^2-h^2}$ ），
$y=-\dfrac{1}{2(-h+r)}x^2+\dfrac{-h+r}{2}$ （ $|x|\gt \sqrt{r^2-h^2}$ ）
となる．

(iii) $h\lt r$ のとき， $C$ と $l$ は接するので，
$y=\dfrac{1}{2(h+r)}x^2+\dfrac{-h-r}{2}$ （ $|x|\gt 0$ ），
$x=0$ （ $y\lt 0$ ）
となる．

ここで
$y=-\dfrac{1}{2(-h+r)}x^2+\dfrac{-h+r}{2}$ （ $|x|\gt \sqrt{r^2-h^2}$ ）
は $x=\sqrt{(-h+r)^2-2(-h+r)y}$ （ $y\lt h$ ）と書き直され，この $h\to r$ の極限を考えたものとなっている．

極形式での放物線

$l\gt 0$ として
$r=\dfrac{l}{1-\cos\theta}$ で原点を焦点とする左に凸な放物線（ $\theta=0$ で分母が $0$ だから $r\to+\infty$ ），
$r=\dfrac{l}{1-\sin\theta}$ で原点を焦点とする下に凸な放物線（ $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ で分母が $0$ だから $r\to+\infty$ ），
$r=\dfrac{l}{1+\cos\theta}$ で原点を焦点とする右に凸な放物線（ $\theta=\pi$ で分母が $0$ だから $r\to+\infty$ ），
$r=\dfrac{l}{1+\sin\theta}$ で原点を焦点とする上に凸な放物線（ $\theta=\dfrac{3\pi}{2}$ で分母が $0$ だから $r\to+\infty$ ）
を表す．

[解答]
定円を $C:x^2+y^2=r^2$ （ $r\gt 0$ ），定直線を $l:\, x=-h$ （ $h\lt 0$ ）とする．そしてこの定円に外接し，かつ定直線に接する円の中心を $\mbox{P}(X，Y)$ （ $X=R\cos\theta$ ， $Y=R\sin\theta$ ）とおくと，この円の半径は $R-r(\gt 0)$ となるので，
$|Y+h|=|R\sin\theta+h|=R-r$
が成立する．

(a) $Y\gt -h$ の範囲では， $R(1-\sin\theta)=h+r$ ，つまり放物線 $R=\dfrac{h+r}{1-\sin\theta}$ 上にある．

(b) $Y\lt -h$ の範囲では，
$h\neq r$ の場合，放物線 $R=\dfrac{r-h}{1+\sin\theta}$ 上にある．
$h=r$ の場合， $R (1+\sin\theta) = 0$ から $\theta=\dfrac{3\pi}{2}$ ， $R$ は任意となり，直線 $X=0$ （ $Y\lt -h=-r$ ）上にある．

以下略．