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[4] $n$ が正の整数なるとき $\dfrac{{}_{n}\mbox{C}_{0}}{x}-\dfrac{{}_{n}\mbox{C}_{1}}{x+1}+\dfrac{{}_{n}\mbox{C}_{2}}{x+2}-\cdots\cdots\cdots\cdots-(-1)^n\dfrac{{}_{n}\mbox{C}_{n}}{x+n}=\dfrac{n!}{x(x+1)\cdots\cdots(x+n)}$ なることを証明せよ．

2025.01.06記

[解答]
$x$ が正の整数のとき
$(1-t)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k{}_n\mbox{C}_k t^k$
であるから，
$t^{x-1}(1-t)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k{}_n\mbox{C}_k t^{k+x-1}$
となる．この両辺を 0 から 1 まで積分して
$\dfrac{(x-1)!n!}{(x+n)!}=\displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k\dfrac{{}_n\mbox{C}_k}{x+k}$
が成立する．つまり
$\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k{}_n\mbox{C}_k}{x+k}=\dfrac{n!}{x(x+1)\cdots\cdots(x+n)}$
が成立する．よって $x$ の多項式に対して
$\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n(-1)^k\mbox{C}_k\cdot\prod_{0\leqq i\leqq n,\, i\neq k} (x+i)-n!=0$
が任意の正の整数に対して成立する．よって多項式一致の定理により，
$\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n(-1)^k\mbox{C}_k\cdot\prod_{0\leqq i\leqq n,\, i\neq k} (x+i)-n!=0$
は任意の実数 $x$ について成立する．

よって( $x\neq -n，-n+1，…，0$ なる)任意の実数 $x$ に対して
$\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k{}_n\mbox{C}_k}{x+k}=\dfrac{n!}{x(x+1)\cdots\cdots(x+n)}$
が成立する．