1949年(昭和24年)東京大学(旧制)医学部医学科-数学[2]

[2] 曲線 $y=e^{-\alpha x}\sin\beta x$ （ $x \gt 0$ とする）に於て $x$ 軸と曲線の間にはさまれる面積は等比級数をなすことを証明せよ．

2025.01.06記

[解答]
求める面積は
$\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x}|\sin\beta x|\, dx$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \int_{(n-1)\pi/\beta}^{n\pi/\beta} e^{-\alpha x}|\sin\beta x|\, dx$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} e^{-(n-1)\pi \alpha /\beta}\int_{0}^{\pi} \sin\beta x\, dx$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{\beta}\left(e^{-\pi \alpha /\beta}\right)^{n-1}$
となり，これは無限等比級数となる．

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