https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1949/Igaku

[1] 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の上の一点よりその短軸を直径とする円 $\rm O$ に切線を引きその二つの切点を結ぶ直線と楕円の両軸との交点を $\rm M$ ， $\rm N$ とすれば $\dfrac{b^2}{\rm OM^2}+\dfrac{a^2}{\rm ON^2}$ は一定なることを証明せよ．

問題文は不十分なので

[1] 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ （ $0\lt b\lt a$ ）の上の一点よりその短軸を直径とする円 $\rm O$ に切線を引きその二つの切点を結ぶ直線と楕円の長軸及び短軸との交点をそれぞれ $\rm M$ ， $\rm N$ とすれば $\dfrac{b^2}{\rm OM^2}+\dfrac{a^2}{\rm ON^2}$ は一定なることを証明せよ．

としておく．

本問のテーマ

極と極線

2025.01.06記

[解答]
楕円上の点を $\mbox{P}(x_1，y_1)$ とすると，短軸を直径とする円 $x^2+y^2=b^2$ に引いた接線の2接点を通る直線の方程式は $x_1x+y_1y=b^2$ であるから，
$\mbox{M}(\dfrac{b^2}{x_1}，0)$ ， $\mbox{N}(0，\dfrac{b^2}{y_1})$
となり，
$\dfrac{b^2}{\rm OM^2}+\dfrac{a^2}{\rm ON^2}$ $=x_1^2+\dfrac{a^2y_1^2}{b^2}$ $=a^2\left(\dfrac{x_1^2}{a^2}+\dfrac{y_1^2}{b^2}\right)=a^2$
で一定となる．