https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1948/Rigaku

[3] 次の定積分の値を求めよ．
$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$

2020.04.01記
素直に $t^6 = x$ と置換する

[解答]
$t^6 = x$ と置換すると、 $6t^5 dt = dx$ であり、
$\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}$ $=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{6t^5 dt}{t^3+t^2}$ $=\displaystyle 6\int_{0}^{1}\dfrac{t^3 dt}{t+1}$ $=\displaystyle 6\int_{0}^{1}\dfrac{(t+1-1)^3 dt}{t+1}$ $=\displaystyle 6\int_{0}^{1}\left\{ (t+1)^2-3(t+1)+3-\dfrac{1}{t+1} \right\} dt$ $=\displaystyle 6\int_{0}^{1}\left(t^2 -t+1-\dfrac{1}{t+1} \right\} dt$ $=\Bigl[ 2t^3-3t^2+6t-6\log(t+1)\Bigr]_{0}^{1}$ $=5-6\log 2$

なお、不定積分は
$2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-\log(\sqrt[6]{x}+1)$ （積分定数省略）