1948年(昭和23年)東京大学農学部-数学[3]

2020.04.03記

[3] $\displaystyle\int\dfrac{xe^xdx}{(1+x)^2}$ を求む

2020.04.07記
答の $\dfrac{e^x}{1+x}+C$ （ $C$ は積分定数）を微分すれば納得だけど、これを見抜くのは大変。

[解答]
求める不定積分を $I$ とおくと、
$\displaystyle I=\int\dfrac{xe^xdx}{(1+x)^2}$ $\displaystyle =\int e^x \dfrac{(1+x)-1}{(1+x)^2}dx$ $\displaystyle =\int e^x \left\{\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{(1+x)^2}\right\}dx$

ここで $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ とおくと
$\displaystyle I=\int e^x \left\{f(x)+f'(x)\right\}dx$
$=e^xf(x)+C=\dfrac{e^x}{1+x}+C$ （ $C$ は積分定数）

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