https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1948/Nougaku

2020.04.03記

[1] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-b^x}{x}=\log\dfrac{a}{b}$ を證せ．但し $a>0$ ， $b>0$ ．

2020.04.07記

[解答]
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(a^x-1)-(b^x-1)}{x}=\log a -\log b =\log\dfrac{a}{b}$

ちょっと丁寧にみると

[解答]
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-1}{x}$ $=\displaystyle\lim_{x\to 0}\log a\cdot\dfrac{e^{(\log a)x}-1}{(\log a)x}$ $=\log a\cdot 1$

2022.07.20記

[解答]
$\dfrac{a^x-b^x}{x}$ は $x\to 0$ で $\dfrac{0}{0}$ の不定形となるので，ロピタルの定理から
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-b^x}{x}$ $=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x\log a-b^x\log b}{1}$ $=\log a-\log b=\log\dfrac{a}{b}$

ロピタル1回なら，コーシーの平均値の定理で示すことができる．

[解答]
コーシーの平均値の定理から
$\dfrac{(a^x-b^x)-0}{x-0}$ $=\dfrac{a^c\log a-b^c\log b}{1}$
なる $c$ が $0$ と $x$ の間に存在するので，
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a^x-b^x}{x}$ $=\displaystyle\lim_{c\to 0}\dfrac{a^c\log a-b^c\log b}{1}$ $=\log a-\log b=\log\dfrac{a}{b}$