https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1948/Kougaku

2020.04.03記

[1] 直交軸 $xy$ に關して $y^2=\lambda^2(1-x)$ で表わされる曲線の上の，原点に最も近い点は， $\lambda$ が $0$ から増して行くとき，どのような圖形を描くか．

2020.04.20記

[解答]
$y=ax^2$ （ $a\neq 0$ ）の $x=t\neq 0$ における法線の方程式は $y=-\dfrac{1}{2at}(x-t)+at^2$ $=-\dfrac{1}{2at}x+at^2+\dfrac{1}{2a}$ となる。つまり法線と軸との交点の $y$ 座標は $\dfrac{1}{2a}$ だけ増える（ $a\lt 0$ のときは減る）．

このことから，

(1) $\lambda=0$ のとき、曲線は $x$ 軸だから原点に最も近い点は原点である。

(2) $0\lt \lambda \leqq\sqrt{2}$ のとき，原点に最も近い点の $x$ 座標は $x=\dfrac{\lambda^2}{2}$ となり， $y^2=2x(1-x)$ すなわち楕円 $\dfrac{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=1$ から原点を除いたもの。

(3) $\sqrt{2} \lt \lambda$ のとき、原点に最も近い点は $(1,\,0)$ である。

以上から求める図形は楕円 $\dfrac{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=1$ 全体を表す。

点の動きを表現すると、原点から楕円の上下を $x$ 座標が増加するように動き、 $(1,\,0)$ に到達すると、そこに留まりつづける、というようになる。