https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1948/Igaku

2020.04.03記

[5] $x=a\cos\theta+b\sin\theta$ 及ビ $y=a\sin\theta-b\cos\theta$ ナルトキハ $\dfrac{d^m x}{d\theta^m}\cdot \dfrac{d^n y}{d\theta^n}-\dfrac{d^n x}{d\theta^n}\cdot \dfrac{d^m y}{d\theta^m}$ ハ $\theta$ ニ無關係デアルコトヲ證明セヨ．

2020.04.08記

[解答]
$\dfrac{d^m x}{d\theta^m}\cdot \dfrac{d^n y}{d\theta^n}-\dfrac{d^n x}{d\theta^n}\cdot \dfrac{d^m y}{d\theta^m}$
$=\left\{a\cos\left(\theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)+b\sin\left(\theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)\right\}\left\{a\sin\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)-b\cos\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)\right\}$ $-\left\{a\cos\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)+b\sin\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)\right\}\left\{a\sin\left(\theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)-b\cos\left(\theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)\right\}$

$=a^2\left\{ \cos\left(\theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)\sin\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)-\sin\left(\theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)\right\}$
$-b^2\left\{ \sin\left( \theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)\cos\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)-\cos\left(\theta+\dfrac{m\pi}{2}\right)\sin\left(\theta+\dfrac{n\pi}{2}\right)\right\}$

$=(a^2+b^2)\sin\dfrac{(n-m)\pi}{2}$
は $\theta$ によらない。