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2022.07.16記

[3] $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{x}{1+x^3}dx$ を求めよ．

2022.07.16記

[解答]
$I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{x}{1+x^3}dx$ とおくと $x=\dfrac{1}{t}$ ( $dx=-\dfrac{dt}{t^2}$ )の置換により $I=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1+t^3}dt$ となるので，
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1+x}{1+x^3}dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1-x+x^2}dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}dx$ $=\left[\dfrac{1}{\sqrt{3}}\mbox{Arctan}\dfrac{x-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right]_0^{+\infty}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=\dfrac{2\pi}{3\sqrt{3}}$
となる．

$\dfrac{x}{1+x^3}=\dfrac{A}{1+x}+\dfrac{Bx+C}{x^2-x+1}$ とおくと
$x=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)$
であるから， $x=-1，0，1$ を代入して
$-1=3A$ ， $0=A+C$ ， $1=A+2B+2C$
により $A=-\dfrac{1}{3}$ ， $B=\dfrac{1}{3}$ ， $C=\dfrac{1}{3}$ となるので，
$I=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left\{-\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{x+1}{x^2-x+1}\right\}dx$
$=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left\{-\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x-1}{x^2-x+1}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{x^2-x+1}\right\}dx$
$=\dfrac{1}{3}\left[ -\log |x+1| +\dfrac{1}{2}\log |x^2-x+1|+\sqrt{3}\mbox{Arctan}\dfrac{x-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right]_0^{\infty}$
$=\left[\dfrac{1}{6}\log \dfrac{|x^2-x+1|}{|x+1|^2}\right]_0^{\infty}$ $\left[+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\mbox{Arctan}\dfrac{x-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right]_0^{\infty}$
$=(0-0)+\dfrac{1}{\sqrt{3}} \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=\dfrac{2\pi}{3\sqrt{3}}$
となる．