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2022.07.16記

[1] $f(x)$ は $x$ に關する有理整式であって，任意の $x$ ， $h$ に對して恒等的に
$f(x+h)=f(x)+h f'(x+\theta h)$
（ $\theta$ は $x$ ， $h$ に無關係な定數）
が成立すると云ふ． $\theta$ の値及び $f(x)$ の形如何．

本問のテーマ

マクローリン展開

2022.07.16記
現在の出題だと
「 $f''(x)$ は恒等的に0ではないとする」
と注意書きが入りそうである．

[解答]
$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\dfrac{h^2}{2}f''(x)+\dfrac{h^3}{6}f'''(x)+o(h^4)$ ，
$f’(x+\theta h)=f'(x)+\theta hf''(x)+\dfrac{\theta^2h^2}{2}f'''(x)+o(h^3)$
であるから，
$f(x)+hf'(x)+\dfrac{h^2}{2}f''(x)+\dfrac{h^3}{6}f'''(x)$
$=f(x)+h f'(x)+\theta h^2 f''(x)+\dfrac{\theta^2h^3}{2}f'''(x)+o(h^4)$
となり，
$\dfrac{h^2}{2}f''(x)+\dfrac{h^3}{6}f'''(x)$ $=\theta h^2 f''(x)+\dfrac{\theta^2h^3}{2}f'''(x)+o(h^4)$
から
$\left(\dfrac{1}{2}-\theta\right) f''(x)$ $=h\cdot \dfrac{3\theta^2-1}{6} f'''(x)+o(h^2)$
が任意の $h$ について成立する．

よって
$\left(\dfrac{1}{2}-\theta\right) f''(x)=0$
が必要である．

(a) $f''(x)=0$ のとき， $f(x)=Ax+B$ とおけ，条件から
$A(x+h)+B=Ax+B+Ah$ は恒等式となり， $\theta$ は任意

(b) $f''(x)\neq 0$ のとき， $\theta=\dfrac{1}{2}$ で，
$\dfrac{3\theta^2-1}{6} f'''(x)=0$
から $f'''(x)\equiv 0$ が必要である．
このとき，
$f(x)=Px^2+Qx+R$ とおけ，条件から
$Px^2+2Phx+Ph^2+Qx+Qh+R$ $=Px^2+Qx+R+h(2P(x+h/2)+Q)$
は恒等式となり十分である．

以上から
「 $\theta=\dfrac{1}{2}$ で $f(x)$ は2次関数」
または
「 $\theta$ は任意で $f(x)$ は1次関数か定数関数」
となる．

マクローリン展開を用いないと次のようになる．

[解答]
$f(x+h)=f(x)+h f'(x+\theta h)$
を $x$ および $h$ で微分すると
$f'(x+h)=f'(x)+h f''(x+\theta h)$ ， $f'(x+h)=f'(x+\theta h)+h\theta f''(x+\theta h)$
が成立するので，
$f'(x)+h f''(x+\theta h)=f'(x+\theta h)+\theta h f''(x+\theta h)$
つまり
$h(1-\theta) f''(x+\theta h)=f'(x+\theta h)-f'(x)$
が成立する．

(1) $\theta\neq 0$ のとき
$\dfrac{1-\theta}{\theta} f''(x+\theta h)=\dfrac{f'(x+\theta h)-f'(x)}{\theta h}$
が任意の $x,h$ について成立するので， $h\to0$ として
$\dfrac{1-\theta}{\theta} f''(x)=f''(x)$
が任意の $x$ について成立するので
$f''(x)=0$ または $\dfrac{1-\theta}{\theta}=1\Leftrightarrow \theta=\dfrac{1}{2}$
が必要である．

(a) $f''(x)=0$ のとき， $f(x)=Ax+B$ とおけ，条件から
$A(x+h)+B=Ax+B+Ah$ は恒等式となり， $\theta$ は任意

(b) $\theta=\dfrac{1}{2}$ のとき， $k=\dfrac{h}{2}$ とおくと
$kf''(x+k)=f'(x+k)-f'(x)$
が任意の $x,k$ について成立する．これを $x$ および $k$ で微分すると
$kf'''(x+k)=f''(x+k)-f''(x)$ ， $f''(x+k)+kf'''(x+k)=f''(x+k)$
だから
$f''(x)=f''(x+k)$
が任意の $x,k$ について成立する．つまり $f''(x)$ は定数である．よって $f(x)$ は2次関数である．
このとき，
$f(x)=Px^2+Qx+R$ とおけ，条件から
$Px^2+2Phx+Ph^2+Qx+Qh+R$ $=Px^2+Qx+R+h(2P(x+h/2)+Q)$
は恒等式となり十分である．

(2) $\theta=0$ のとき，
$f(x+h)=f(x)+h f'(x)$
が任意の $x,h$ について成立するので
これを $x$ および $h$ で微分すると
$f'(x)=f'(x+k)$
が任意の $x,h$ について成立する．つまり $f'(x)$ は定数である．よって $f(x)$ は1次関数である．
これは，(1)(a)に含まれる．

以上から
「 $\theta=\dfrac{1}{2}$ で $f(x)$ は2次関数」
または
「 $\theta$ は任意で $f(x)$ は1次関数か定数関数」
となる．

(1)(b)で
$f''(x+k)=\dfrac{f'(x+k)-f'(x)}{k}$ から平均変化率が常に接線の傾きに等しいことから $f'(x)$ は1次関数ということがわかる．