https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1947/Nougaku

2022.07.16記

[3] 次ノ積分ヲ行ヘ
$\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}$

2022.07.17記

[解答]
$I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}$ とおくと
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{2xdx}{x^2\sqrt{1-x^2}}$
で $x^2=t$ と置換すると
$I=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \dfrac{dt}{t\sqrt{1-t}}$
となる．さらに $1-t=s^2$ と置換すると
$I=\displaystyle\int \dfrac{ds}{s^2-1}$
$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{s+1}\right)ds$
$=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{s-1}{s+1}\right|$
$=\dfrac{1}{2}\log\left|\dfrac{\sqrt{1-x^2}-1}{\sqrt{1-x^2}+1}\right|$
$=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}$ ．

これをさらに
$I=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{(1-\sqrt{1-x^2})^2}{x^2}$ $=\log\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}$
と変形しても良い．