1947年(昭和22年)東京帝國大學農學部-數學[1]

2022.07.16記

[1] 次ノ式ヲ微分セヨ．

i. $y=\log\sqrt{\dfrac{a^2-x^2}{a^2+x^2}}$

ii. $y=a\cos^{-1}\Bigl(\dfrac{a-x}{a}\Bigr)-\sqrt{2ax-x^2}$

2022.07.17記

[解答]
i. $y=\dfrac{1}{2}\left\{\log (a^2-x^2) - \log (a^2+x^2) \right\}$ だから
$y'=\dfrac{1}{2}\left\{\dfrac{-2x}{a^2-x^2}-\dfrac{2x}{a^2+x^2}\right\}$ $=\dfrac{2a^2x}{x^4-a^4}$

ii. $y'=-a\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{(a-x)^2}{a^2}}}\cdot\dfrac{-1}{a}-\dfrac{a-x}{\sqrt{2ax-x^2}}$
$=\dfrac{|a|}{\sqrt{2ax-x^2}}-\dfrac{a-x}{\sqrt{2ax-x^2}}$ $=\dfrac{x-a+|a|}{\sqrt{2ax-x^2}}$
$=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{x}{\sqrt{2ax-x^2}} & (a\gt 0) \\ \dfrac{x-2a}{\sqrt{2ax-x^2}} & (a\lt 0) \end{array}\right.$

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