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2022.07.16記

[3]曲線 $b^2 y^2 +x(x-2a)^3=0$ （ $a>0$ ， $b>0$ ）で圍まれる區域の面積を求めよ．

本問のテーマ

ベータ関数とウォリス積分

2022.07.16記
ベータ関数
$B(s,t)=\displaystyle\int_0^1 x^{s-1} (1-x)^{t-1}dt$
で $x=\sin^2\theta$ と置換すると
$B(s,t)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^{2s-1}\theta \cos^{2t-1}\theta d\theta$
となることは有名．

[解答]
図形 $y^2$ の関数であるからは $x$ 軸対称であり，
$b^2 y^2 =-x(x-2a)^3\geqq 0$ から $0\leqq x\leqq 2a$
である．このとき
$y=\dfrac{1}{b}\sqrt{x(2a-x)^3}$
であるから，求める面積は
$S=\dfrac{2}{b}\displaystyle\int_0^{2a} x^{1/2} (2a-x)^{3/2} dx$
となる． $x=2a\sin^2\theta$ と置換すると
$dx=4a\sin\theta\cos\theta d\theta$
より
$S=\dfrac{32a^3}{b}\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta \cos^4\theta d\theta$ $=\dfrac{32a^3}{b}\displaystyle\int_0^{\pi/2} (\cos^4\theta -\cos^6\theta)d\theta$ $=\dfrac{32a^3}{b}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} \cdot\left(1-\dfrac{5}{6}\right)$ $=\dfrac{a^3}{b}\pi$

ベータ関数の積分をガンマ関数を経由して求めると
$S=\dfrac{2}{b}\displaystyle\int_0^{2a} x^{1/2} (2a-x)^{3/2} dx$ $=\dfrac{2(2a)^3}{b}B(3/2,5/2)$ $=\dfrac{2(2a)^3}{b}\dfrac{\Gamma(3/2)\Gamma(5/2)}{\Gamma(4)}$ $=\dfrac{2(2a)^3}{b}\dfrac{(1/2)\sqrt{\pi}\cdot (3/2)(1/2)\sqrt{\pi}}{3!}$ $=\dfrac{a^3}{b}\pi$
のようになる．