https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1946/Rigaku

2022.06.02記

[2] $0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ なるとき， $\sin\theta\geqq\dfrac{2}{\pi}\theta$ を證明せよ．

本問のテーマ

Jensen の不等式

2022.06.04記

[解答]
$0\leqq \theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ なるとき， $y=\sin\theta$ は上に凸であるから， $(0,0),\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)$ を結ぶ割線 $y=\dfrac{2}{\pi}\theta$ よりも上側にある．よって $\sin\theta\geqq\dfrac{2}{\pi}\theta$ を證明せよ．

普通にやるなら，
$f(\theta)=\sin\theta-\dfrac{2}{\pi}\theta$
とおいて $f''(\theta)\lt 0$ ， $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ から
$f'(\theta)=\cos\theta-\dfrac{2}{\pi}$
が単調減少となることから，
$f(0)=0$ から増加して，途中で減少に転じて $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ に辿り着く増減表をかけば良い。