https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1946/Nougaku

2022.07.16記

[1] 次式の獨立變數 $x$ を $z$ に置換せよ．但し $x=e^z$ とす．
$x^3\dfrac{d^3y}{dx^3}+3x^2\dfrac{d^2y}{dx^2}+x\dfrac{dy}{dx}+y=0$

2020.04.07記
左辺が $\sum a_n x^n\dfrac{d^n y}{dx^n}$ の形をしている場合は、この変換を行なうのが通常。

[解答]
$\dfrac{dy}{dz}=y',\,\dfrac{d^2y}{dz^2}=y'',\,\dfrac{d^3y}{dz^3}=y'''$ とおくと、
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{y'}{x}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) =\dfrac{y''(dz/dx)}{x}-\dfrac{y'}{x^2}=\dfrac{y''}{x^2}-\dfrac{y'}{x^2}$
$\dfrac{d^2y}{dx^3}$ $=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)$ $=\dfrac{y'''(dz/dx)}{x^2}-2\dfrac{y''}{x^3}-\dfrac{y''(dz/dx)}{x^2}+2\dfrac{y'}{x^3}$ $=\dfrac{y'''}{x^3}-3\dfrac{y''}{x^3}+2\dfrac{y'}{x^3}$
であるから、
$(y'''-3y''+2y')+3(y''-y')+y'+y=y'''+y=0$
つまり、
$\dfrac{d^3y}{dz^3}+y=0$
となる。

2020.04.14記
一般には、
$\dfrac{dy}{dz}=y',\,\dfrac{d^2y}{dz^2}=y'',\,\dfrac{d^3y}{dz^3}=y'''$ ， $\dfrac{dx}{dz}=x',\,\dfrac{d^2x}{dz^2}=x'',\,\dfrac{d^3x}{dz^3}=x'''$ とおくと、
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dz}\cdot\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{y'}{x'}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\cdot\dfrac{dz}{dx}$ $=\dfrac{y''x'-y'x''}{(x')^2}\cdot\dfrac{1}{x'}$ $=\dfrac{y''}{(x')^2}-\dfrac{y'x''}{(x')^3}$
$\dfrac{d^3y}{dx^3}=\dfrac{d}{dz}\left(\dfrac{d^2y}{dx^2}\right)\cdot\dfrac{dz}{dx}$ $=\dfrac{y'''}{(x')^3}-3\dfrac{y''x''}{(x')^4}-\dfrac{y'x'''}{(x')^4}+3\dfrac{y'(x'')^2}{(x')^5}$
となる。

2022.07.16記
$\lambda^3+1=0$ の解が $-1.\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ となるので，
この微分方程式の一般解は
$y=C_1e^{-z}+C_2e^{z/2}\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}z\right)+C_3e^{z/2}\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}z\right)$
となり，
$y=\dfrac{C_1}{x}+C_2\sqrt{x}\cos\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\log x\right)+C_3\sqrt{x}\sin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\log x\right)$
となる．