https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1946/Kougaku_II

2022.06.02記

[3](a) $z=f(x,y)$ が積 $xy$ のみの凾數なるための，必要條件を求めよ．

(b) 直角座標に於ける曲線 $x^3+xy^4+\sin y=0$ が，軸を切る點に於ける勾配（方向係數）を求めよ．

2022.06.06記

[解答]
(a) $xy=t$ とおき， $f(x,y)=g(t)$ とおくと
$\dfrac{\partial f}{\partial x}=g'(t)\dfrac{\partial t}{\partial x}=g'(t)y$ ，
$\dfrac{\partial f}{\partial y}=g'(t)\dfrac{\partial t}{\partial y}=g'(t)x$
が成り立つ必要があるので
$x\dfrac{\partial f}{\partial x}=y\dfrac{\partial f}{\partial y}$
が求める条件。

(b) $3x^2 dx+y^4dx+4xy^3 dy +\cos y dy=0$ から $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3x^2+y^4}{4xy^3+\cos y}$ である．

(i) $x=0$ とすると $y=n\pi$ ( $n\in\mathbb{Z}$ )　であるから
$\dfrac{dy}{dx}=(-1)^{n+1}n^4\pi^4$ である．

(ii) $y=0$ とすると $x=0$ で，これは(i) に含まれる．