https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1946/Igaku

2022.06.02記

[1] すべての實數 $x$ について $\cos x\leqq 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}$ なることを證明せよ．

2022.06.20記

[解答] $f(x)=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cos x$ とおくと，これは偶関数であるから， $x\geqq 0$ で $f(x)\geqq0$ を示せば良い．

$f'(x)=-x+\dfrac{x^3}{3!}+\sin x$ ， $f''(x)=-1+\dfrac{x^2}{2!}+\cos x$ ， $f'''(x)=x-\sin x$ ， $f^{(4)}(x)=1-\cos x$
である．

$f^{(4)}(x)\geqq 0$ ， $f^{(4)}(0)=0$ から $f'''(x)\geqq 0$ （ $x\geqq 0$ ）
となる．よってこれと $f'''(0)=0$ から $f''(x)\geqq 0$ （ $x\geqq 0$ ）
となる．よってこれと $f''(0)=0$ から $f'(x)\geqq 0$ （ $x\geqq 0$ ）
となる．よってこれと $f'(0)=0$ から $f(x)\geqq 0$ （ $x\geqq 0$ ）
となり，題意は示された．