https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1943/Rigaku

[2] 同一正方形ニ内切スル楕圓ノ中ニテ圓ガ最大面積ヲ有スルコトヲ證明セヨ。

2020.03.29記

[うまい解答]
正方形の一辺の長さを2として良く、その4頂点が $(\pm 1,\, \pm 1)$ （複号任意）であるとする。このとき楕円の $y$ 切片を $\pm h$ （ $0\lt h\leqq 1$ ）とすると、楕円の面積は $\pi h$ であり、これが最大となるのは $h=1$ 、つまり楕円が円になるときである。

注) この解説を理解するにはカバリエリの原理が必要である。楕円の横軸の式を $y=mx$ とすると、線型変換
$x\to x,\, y\to y-mx$
によって、この楕円は楕円 $x^2+\dfrac{y^2}{h^2}=1$ にうつり（可逆な線型変換で楕円が楕円にうつることは既知とする）、面積は行列式が1より不変。よってもとの楕円の面積も $\pi h$ となる。

2020.03.30記
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の直交する接線の交点の軌跡が準円 $x^2+y^2=a^2+b^2$ となることは有名である。
楕円の準円の求め方(解決編) - 球面倶楽部零八式 mark II

このとき、楕円 $\dfrac{x^2}{\cos^2\theta}+\dfrac{y^2}{\sin^2\theta}=1$ の直交する接線の交点の軌跡が $x^2+y^2=1$ となる。ここで、
楕円の準円(ポンスレの閉形定理) - 球面倶楽部零八式 mark II
でも述べたが、この直交する接線を含む長方形を考えると、楕円はその長方形に内接する。直交する接線をうまく選べば正方形にすることができる（長方形の縦と横の差を考え、90度回転すると縦横が入れかわるので、中間値の定理から縦と横が等しくなる場所がある）。

つまり、

[うまい解答]
楕円 $\dfrac{x^2}{\cos^2\theta}+\dfrac{y^2}{\sin^2\theta}=1$ は，単位円に内接する一辺の長さが $\sqrt{2}$ の正方形に内接し，その面積は $\pi \cos\theta\sin\theta=\dfrac{\pi}{2}\sin2\theta$ である．この面積は $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ で最大となるり，このとき $\cos\theta=\sin\theta$ により，その楕円は円である．

2020.03.30記

[解答]
一般に，原点対称な楕円は $ax^2+2bxy+cy^2=1$ （ $ac\neq 0$ ）の形をしている．これが $y=1$ と接するとき， $ax^2+2bx+c-1=0$ の判別式が0であることから $b^2-a(c-1)=0$ となる．
同様に $x=1$ にも接するとき $b^2-c(a-1)=0$ となる．

よって4頂点が $(\pm 1,\, \pm 1)$ （複号任意）である1辺の長さが2の正方形に内接する楕円について $a=c，b^2=a(a-1)$ （これから $a\geqq 1$ ）が成立するので，その楕円の方程式は
$ax^2+2\sqrt{a(a-1)}xy+ay^2=1$
となる．この楕円の面積は

注）斜めの楕円の面積 - 球面倶楽部零八式 mark II 参照

$\dfrac{\pi}{ac-b^2}=\dfrac{\pi}{a}$ であるから，これが最大となるのは $a$ が最小となる $a=1$ のとき．
このとき楕円の方程式は $x^2+y^2=1$ となり，これは円．

2024.11.08記

[大人の解答]
2次元データ $(x，y)$ に対して， $x$ ， $y$ （相関係数を $r_{xy}$ とする）を標準化したデータをそれぞれ $z$ ， $w$ とする．このとき，2次元データ $(z，w)$ の分散共分散行列 $\Sigma=\begin{pmatrix} 1 & r_{xy} \\ r_{xy} & 1\end{pmatrix}$ に対して， $zw$ 平面においてマハラノビス距離が1となる，つまり $\mathbf{z}^{\top} \Sigma^{-1} \mathbf{z}=1$ をみたす点の集合は楕円 $z^2-2r_{xy}zw+w^2=1-r_{xy}^2$ となる．この楕円と
4頂点が $(\pm 1,\, \pm 1)$ （複号任意）である正方形とは $(z，w)=(\pm 1，\pm r_{xy})，(\pm r_{xy}，\pm 1)$ （複号同順）の4点で接する．そしてこの楕円の面積は $\dfrac{\pi}{\sqrt{\mbox{det}\,\Sigma}}$ $=\pi \sqrt{1-r_{xy}^2}$ であるから， $z$ と $w$ が無相関（ $r_{xy}=0$ ）のときに最大値 $\pi$ をとる．

・この楕円の長軸，単軸が第1，第2主成分に対応する（直交回帰直線と考えても良い）
・ $(\pm 1，\pm r_{xy})$ を通る直線が， $w$ の $z$ への回帰直線
・ $(\pm r_{xy}，\pm 1)$ を通る直線が， $z$ の $w$ への回帰直線

という関係が成り立つことを書いている本って意外と少ない．

2025.02.22記
この楕円を始めて用いたのは Sir Francis Galton (Galton Board で有名な Galton)である．
フランシス・ゴルトン - Wikipedia