https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1943/Kougaku_3

(これは記録として残してある古い記事である．最新版は
1943年(昭和18年)東京帝國大學工學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
参照)

[3] $u=\displaystyle\int_0^x e^{at}\cos bt\,dt$ ， $v=\displaystyle\int_0^x e^{at}\sin bt\,dt$ トスレバ $\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}=bx$ ナルコトヲ證明セヨ。
（但シ $\mbox{Tan}^{-1}$ ハ $\tan^{-1}$ ノ主値ヲ表ハスモノトス）

2020.03.31記
原典は上記の問題であったが、実際解いてみるとミスプリントと思われ、積分区間を修正した以下の問題を解いておく。

[3] $u=\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{at}\cos bt\,dt$ ， $v=\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{at}\sin bt\,dt$ （ $a\gt 0$ ）トスレバ $\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}=bx$ ナルコトヲ證明セヨ。
（但シ $\mbox{Tan}^{-1}$ ハ $\tan^{-1}$ ノ主値ヲ表ハスモノトス）

[解答]
$i$ を虚数単位とすると，
$u+vi=\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{(a+bi)t}\,dt=\dfrac{1}{a+bi}\left[e^{(a+bi)t}\right]_{-\infty}^x=\dfrac{e^{(a+bi)x}}{a+bi}$ ，
つまり
$(u+vi)(a+bi)=e^a(\cos bx+i\sin bx)$
となる．それぞれの偏角を考えると
$\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}=bx$
となる．

注) 最初の問題だと $(u+vi)(a+bi)=e^a(\cos bx+i\sin bx)-1$ となり偏角が $bx$ ではなくなってしまう．