https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1943/Kougaku

[3] $u=\displaystyle\int_0^x e^{at}\cos bt\,dt$ ， $v=\displaystyle\int_0^x e^{at}\sin bt\,dt$ トスレバ $\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}=bx$ ナルコトヲ證明セヨ。
（但シ $\mbox{Tan}^{-1}$ ハ $\tan^{-1}$ ノ主値ヲ表ハスモノトス）

2020.03.31記
1943年(昭和18年)東京帝國大學工學部-數學[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR

2025.02.14記
設問に不備があるので修正した以下の問題を解いておく．というのも
$\mbox{Tan}^{-1}$ の値は区間 $\left(-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2}\right)$ に含まれるので $\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}$ の値は $(-\pi，\pi)$ を満たすが $bx$ は全実数をとり得るので等号が成立するためには制限が必要となる．

その制限は $a+bi$ （ $a\gt 0$ ）の偏角を $\alpha$ ( $-\dfrac{\pi}{2}\lt \alpha\lt\dfrac{\pi}{2}$ ) としたときに $\alpha-\dfrac{\pi}{2}\lt bx\lt\alpha+\dfrac{\pi}{2}$ の範囲内ならば
$\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}=bx$
が成立する，というものだがここでは制限をかけずに

[3] $u=\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{at}\cos bt\,dt$ ， $v=\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{at}\sin bt\,dt$ （ $a\gt 0$ ）トスレバ $\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}-bx$ ノ値ハ $\pi$ ノ整数倍ナルコトヲ證明セヨ．（但シ $\mbox{Tan}^{-1}$ ハ $\tan^{-1}$ ノ主値ヲ表ハスモノトス）

としておく．

[解答]
$i$ を虚数単位とすると，
$u+vi=\displaystyle\int_{-\infty}^x e^{(a+bi)t}\,dt=\dfrac{1}{a+bi}\left[e^{(a+bi)t}\right]_{-\infty}^x=\dfrac{e^{(a+bi)x}}{a+bi}$ ，
つまり
$(u+vi)(a+bi)=e^a(\cos bx+i\sin bx)$
となる．それぞれの偏角を考えると
$\mbox{arg}\dfrac{v}{u}+\mbox{arg}\dfrac{b}{a}\equiv bx$ （ $\mbox{mod}\, 2\pi$ ）
となるので，偏角と $\mbox{Tan}^{-1}$ の値には $\pi$ の整数倍の差の不定性があるので
$\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}$ と $bx$ の間にも $\pi$ の整数倍の差の不定性がある．

よって $\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}-bx$ の値は $\pi$ の整数倍である．

なお，本問と同様にして複素数を経由すると次が示される：
$a+bi=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ とおくと
$(e^{ax}\sin bx)'= r e^{ax}\sin (bx+\alpha)$ ，
$(e^{ax}\cos bx)'= r e^{ax}\cos (bx+\alpha)$ ，
$\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\, dx= \dfrac{1}{r} e^{ax}\sin (bx-\alpha)$ ，
$\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\, dx= \dfrac{1}{r} e^{ax}\cos (bx-\alpha)$ ．

これらの式は複素数を経由しなくても高校数学で求められるので，高校数学の範囲だと次のようになる（ $\mbox{Tan}^{-1}$ は高校範囲外だが）．

[別解]（ほとんど同じだが）
$a+bi=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ とおくと $\dfrac{b}{a}=\tan\alpha$ である．

また，
$u=\displaystyle \int_{-\infty}^x e^{at}\cos bt\, dx$ $=\Bigl[\dfrac{1}{r} e^{at}\cos (bt-\alpha)\Bigr]_{-\infty}^x$ $=\dfrac{1}{r} e^{ax}\cos (bx-\alpha)$
であり（ $a\gt 0$ だから原始関数に $-\infty$ を代入すると $0$ になる），同様に $v=\dfrac{1}{r} e^{ax}\sin (bx-\alpha)$ であるから $\dfrac{v}{u}=\tan(bx-\alpha)$ である．

よって
$\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{v}{u}+\mbox{Tan}^{-1}\dfrac{b}{a}$ $\equiv(bx-\alpha)+\alpha\equiv bx$ （ $\mbox{mod}\, \pi$ ）
となる．

非常に面白い問題なのだけど，不備だったのが残念．