https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Todai/1943/Igaku

[2] 半徑 $a$ ナル圓Cガ直線 g 上ヲ辷ルコトナク轉ガツテ動ク時，最初 g ト接スルCノ轉ガ再ビ g ト接スル迄ニ描ク曲線ヲ，g ヲ軸トシテ一回轉シテ得ル曲面ニテ圍マレル部分ノ體積ヲ求メヨ。

本問のテーマ

パップス・ギュルダン(Pappus–Guldinus)の(第二)定理

2020.03.30記
サイクロイド1周期について，曲線の長さは $8a$ ，直線と囲まれる面積は $3\pi a^2$ ，直線のまわりに回転してできる立体の体積は $5\pi^2 a^3$ である．

[解答]
g を $x$ 軸とし，最初の接点を $(0，0)$ ，次の接点を $(2\pi a，0)$ とすると $x=a(\theta-\sin\theta)$ ， $y=a(1-\cos\theta)$ となるので、求める体積 $V$ は
$\displaystyle V=\int_0^{2\pi a} \pi y^2 dx =\pi a^3 \int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^3 \,d\theta$ $\displaystyle =\pi a^3 \int_0^{2\pi} (1-3\cos\theta+3\cos^2\theta+\cos^3\theta)\, d\theta$
で表される．

ここで
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta=\int_0^{2\pi} \cos^3\theta \, d\theta=0$
であり，
$\displaystyle\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, d\theta=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi} (\cos^2\theta+\sin^2\theta) \, d\theta=\pi$
だから
$V=\pi a^3 (2\pi +0+3\pi+0)=5\pi^2 a^3$
となる．

ついでに面積は
$\displaystyle S=\int_0^{2\pi a} y dx =a^2 \int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)\, d\theta$ $=\displaystyle a^2 \int_0^{2\pi} (1-2\cos\theta+\cos^2\theta)\,d\theta$ $=a^2(2\pi+\pi)$ $=3\pi a^2$
となり，曲線の長さは
$\displaystyle L=\int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $\displaystyle =a\int_0^{2\pi} \sqrt{2-2\cos\theta}\,d\theta$ $\displaystyle =2a\int_0^{2\pi} \sin\dfrac{\theta}{2}\,d\theta$ $\displaystyle =4a\int_0^{\pi} \sin\phi\,d\phi$ （ $\phi=\dfrac{\theta}{2}$ とおく）
$=4a\cdot 2=8a$
となる．

2020.03.31記
ちなみに $y$ 軸のまわりに回転させた立体の体積は，左右対称な図形なので重心の $x$ 座標が $\pi a$ となることから，パップス=ギュルダンの定理を利用して
$V_y=2\pi \times \pi a \times S=6\pi^3 a^3$
となる．

2020.07.07記
極座標における回転体の体積公式
$\displaystyle\int \dfrac{2}{3}\pi r^3 \sin\theta d\theta$
を使いたいところではあるが、サイクロイドの $\theta$ は偏角ではないので使えないことに注意しておく．

2025.02.14記
本問の結果から，サイクロイドの重心の位置は $\left(\pi a，\dfrac{5}{6}a\right)$ となる．

サイクロイドを含む長方形の重心の位置は $(\pi a，a)$ ，
サイクロイドに含まれる $(0，0)$ ， $(\pi a，2a)$ ， $(2\pi a，0)$ を頂点とする三角形の重心が $\left(\pi a，\dfrac{2}{3}a\right)$ となるので，サイクロイドの重心はこれらの中点となる．

よって逆にこれを覚えていれば

[大人の解答]
サイクロイド1周期について重心の位置は $\left(\pi a，\dfrac{5}{6}a\right)$ であるから，Pappus-Guldin の定理から
$2\pi\cdot\dfrac{5}{6}a\cdot 3\pi a^2$ $=5\pi^2 a^3$
となる．

となるが，まぁ，これはね．