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1942-09-16

1942年(昭和17年)東京帝國大學(秋入学)農學部-數學[3]

[3] 曲線 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ ノ全長ヲ求ム．

2022.06.01記

[解答]
$a\neq 0$ として良い。

全長を $l$ とする。第1象限の長さを4倍すれば良く、曲線のパラメータ表示が $x=a\cos^3\theta, \, y=a\sin^3\theta$ であるから、
$l=4\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sqrt{ \left( \dfrac{dx}{d\theta} \right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$ $=4\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sqrt{9a^2\cos^4\theta\sin^2\theta+9a^2\cos^2\theta\sin^4\theta}\,d\theta$ $=4\displaystyle \int_0^{\pi/2} 3|a|\sin\theta\cos\theta\,d\theta$ $=6|a|\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin 2\theta \,d\theta$ $=6|a|$
となる。

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